Teorema fundamental del cálculo

El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas.¹ Esto significa que toda función acotada e integrable (siendo continua o discontinua en un número finito de puntos) verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.

El teorema es fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del "área bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación.

Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow,² denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.

Primer teorema fundamental del cálculo

Dada una función f integrable sobre el intervalo $[a,b]$ , definimos F sobre $[a,b]$ por $F(x) = {\int_{a}^x f(t)dt}$ . Si f es continua en $c \in (a,b)$ , entonces F es derivable en $c$ y F'(c) = f(c).

Usando la Regla de la cadena obtenemos como consecuencia directa del primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal:

$\frac{d}{dx}{\int_{a(x)}^{b(x)}f(t)dt} = f(b(x)) \cdot b'(x) - f(a(x)) \cdot a'(x)$

Siendo f(t) una función integrable sobre el intervalo [a(x),b(x)] con a(x) y b(x) derivables.

Demostración del teorema fundamental del cálculo
* Lema Sea $f$ integrable sobre $[a,b]$ y $m \leq f(x) \leq M \; \forall x \in [a,b]$ Entonces $m(b-a) \leq {\int_a^b f(t)dt} \leq M(b-a)$ Demostración del lema Está claro que $m(b-a)\leq L(f,P) \ \hbox{y}\ U(f,P) \leq M(b-a)$ para toda partición $P$ . Puesto que $\int_{a}^{b}f = \sup {L(f,P)}=\inf{U(f,P)}$ , la desigualdad se sigue inmediatamente. Demostración del terorema Por definición se tiene que $F'(c)={ \lim_{h \rightarrow 0} {\frac{F(c+h)-F(c)}{h}} }$ . Sea h>0. Entonces $F(c+h)-F(c)={\int_c^{c+h} f(t)dt}$ . Se define $m_h$ y $M_h$ como: $m_h = \inf\{f(x)\| c\leq x \leq c+h\}$ , $M_h = \sup\{f(x)\| c\leq x \leq c+h\}$ Aplicando el 'lema' se observa que: $m_h \cdot h \leq {\int_c^{c+h} f(t)dt} \leq M_h \cdot h$ . Por lo tanto, $m_h \leq \frac{F(c+h)-F(c)}{h} \leq M_h$ Sea $h < 0$ . Sean ${m^}_h = \inf \{ f(x)\|c+h \leq x \leq c \}$ , ${M^}_h = \sup \{ f(x)\|c+h \leq x \leq c \}$ . Aplicando el 'lema' se observa que: ${m^}_h \cdot (-h) \leq {\int_{c+h}^c f(t)dt } \leq {M^}_h \cdot (-h)$ . Como: $F(c+h)-F(c)={\int_c^{c+h} f(t)dt} = -{\int_{c+h}^{c} f(t)dt}$ , entonces, ${M^}_h \cdot h \leq F(c+h)-F(c) \leq {m^}_h \cdot h$ . Puesto que $h < 0$ , se tiene que: ${m^}_h \leq \frac{F(c+h)-F(c)}{h} \leq {M^}_h$ . Y como $f$ es continua en c se tiene que $\lim_{h \rightarrow 0} m_h = \lim_{h \rightarrow 0} M_h = \lim_{h \rightarrow 0} {m^}_h = \lim_{h \rightarrow 0} {M^}_h = f(c)$ , y esto lleva a que $F'(c)={ \lim_{h \rightarrow 0} {\frac{F(c+h)-F(c)}{h}} } = f(c)$ .

Ejemplos

F(x) = \int_{0}^{x} t^2 dt \quad\Rightarrow\quad F'(x) = x^2

H(x) = \int_{0}^{e^{3x}} \sin(t) dt \quad\rightarrow\quad H'(x) = \sin(e^{3x}) e^{3x} \cdot3

G(x) = \int_{0}^{x^2} \arcsin(t) dt\quad \rightarrow\quad G'(x) = \arcsin(x^2) \cdot 2x

J(x) = \int_{0}^{\int_{a}^{x} \frac{1}{(1+\sin^2t)}dt} \frac{1}{(1+\sin^2t)} dt\quad \rightarrow\quad J'(x)= \frac{1}{(1+\sin^2(\int_{a}^{x} \frac{1}{(1+\sin^2t)}dt))} \,\cdot\, \frac{1}{(1+\sin^2x)}

Otra demostración del teorema fundamental del cálculo
Cogiendo un intervalo cerrado $[a,x]$ sobre $[a,b]$ , ya que $f(t)$ es continua en $[a,b]$ , también lo será en $[a,x]$ . Según el teorema del valor medio para integrales se cumple que: $\exists \xi\in[a,x] : \quad f(\xi)= \frac{1}{x-a}\int_{a}^{x}f(t)dt$ Haciendo el intervalo muy pequeño de tal manera que $x \longrightarrow \ a$ y debido a esa tendencia se tiene también que $\xi \longrightarrow \ a$ Por lo que en los límites se llega a: $\lim_{\xi \to a} f(\xi) = \lim_{x \to a} \frac{\int_{a}^{x}f(t)dt}{x-a}$ Sabemos que : $\int_{a}^{a}f(t)dt = 0$ Entonces la ecuación se la puede escribir como : $\lim_{\xi \to a} f(\xi) = \lim_{x \to a} \frac{\int_{a}^{x}f(t)dt - \int_{a}^{a}f(t)dt}{x-a}$ Dado que $F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ , entonces $F(a)=\int_{a}^{a}f(t)dt$ $\lim_{\xi \to a} f(\xi) = \lim_{x \to a} \frac{F(x) - F(a)}{x-a}$ Y debido a que $f(t)$ es continua en a, entonces $\lim_{\xi \to a} f(\xi) = f(a)$ $f(a) = \lim_{x \to a} \frac{F(x) - F(a)}{x-a}$ Vista la ecuación de otra manera: $f(x)\|_{x=a} = \frac{dF(x)}{dx}\|_{x=a}$ Por lo tanto $\frac{dF(x)}{dx} = f(x)$ O también $\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt = f(x)$ Y en consecuencia $\forall c\in(a,b) : \quad \frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt\ \|_{x=c} = f(c)$ Con ello se demuestra el primer teorema fundamental del cálculo.

Segundo teorema fundamental del cálculo

El segundo teorema fundamental del cálculo integral (o regla de Newton-Leibniz, o también regla de Barrow, en honor al matemático inglés Isaac Barrow, profesor de Isaac Newton) es una propiedad de las funciones continuas que permite calcular fácilmente el valor de la integral definida a partir de cualquiera de las primitivas de la función.

Enunciado

Dada una función f(x) integrable en el intervalo [a,b] y sea F(x) cualquier función primitiva de f, es decir F '(x) = f(x). Entonces

$\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$

Demostración del segundo teorema fundamental del cálculo
Considérese la siguiente primitiva de $f$ definida en el intervalo $[a,b]$ : $G(x)= \int_a^x f(t)dt$ . esto debido al primer teorema fundamental del cálculo el cual establece que: $G'(x)=f(x) {\ } \forall x \in [a,b]$ . Como $G$ y $F$ son primitivas de $f$ , entonces: $\exists C \in \mathbb{R}: {\ }G(x)=F(x)+C, {\ } \forall x \in [a,b]$ . Observese que: $0=G(a)=F(a)+c \,$ y de eso se sigue que $c=-F(a) \,$ ; por lo tanto, $G(x) = F(x) - F(a) \,$ . Y en particular si $x=b$ : $\int_a^b f(t)dt = G(b) = F(b) - F(a)$