Así como los números naturales pueden ser expresados como producto de
dos o más números, los polinomios pueden ser expresadas como el producto de dos
o más factores algebraicos.
Cuando un polinomio no se puede factorizar se denomina irreducible.
En los casos en que la expresión es irreducible, solo puede expresarse como el
producto del número 1 por la expresión original.
Al proceso de expresar un polinomio como un producto de factores se le
denomina factorización.
El proceso de factorización puede considerarse como inverso al
proceso de multiplicar.
Factorizar, entonces, quiere decir identificar los factores
comunes a todos los términos y agruparlos.
Los factores comunes son aquellos números que aparecen multiplicando a
todos los términos de una expresión algebraica.
Estos números pueden estar dados explícitamente o representados por
letras.
Así, factorizar un polinomio es descomponerlo en dos o más polinomios
llamados factores, de tal modo que al multiplicarlos entre sí se obtenga el
polinomio original.
En otras palabras, dada una expresión algebraica complicada, resulta
útil, por lo general, el descomponerla en un producto de varios términos más
sencillos.
Por ejemplo, 2x3 + 8x2y se
puede factorizar, o reescribir, como 2x2(x + 4y).
Algunos ejemplos:
De la expresión ab2 +
3cb - b3 podemos factorizar b
y obtenemos la expresión: b(ab + 3c - b2)
(1)
Veamos paso a paso cómo se obtuvo la expresión:
ahora podríamos reacomodar la expresión que queda dentro del paréntesis:
Finalmente si sustituimos este último resultado en (1),
obtenemos:
ab2 + 3cb - b3 =
b (b (a - b) + 3c)
ab2 + 3cb - b3 = b (ab - b2 + 3c)
ab2 + 3cb - b3 = b (ab +3c –b2)
Por otro lado, algunos productos sencillos que tienen una estructura
determinada y que pueden ser evaluados de forma directa se denominan Productos notables.
En general los casos de factorización corresponden a los casos de
productos notables.
Antes de mostrar ejercicios de aplicación de factorización y productos
notables, es necesario recordar la forma de hallar el máximo común
divisor (mcd) de un conjunto de números dados.
Ejemplo: Determinar el máximo común divisor (mcd) de los números 56, 42 y
28.
El máximo común divisor de un conjunto de números dados
corresponde al mayor número natural que los divide simultáneamente, con residuo
cero.
Para hallar el mcd de un conjunto determinado de
números, estos se dividen simultáneamente por los diferentes números primos
(tomados en orden ascendente, y desechando los números primos por los cuales no
se pueda hacer la división con residuo cero detodos los números de
la fila) según el arreglo mostrado a continuación.
El proceso termina, cuando los números que aparecen en la fila
inmediatamente inferior a la última división simultánea, no pueden
dividirse simultáneamente por algún número primo.
El mcd buscado es el producto de los números primos que
aparecen a la derecha:
|
56
|
42
|
28
|
÷
|
2
|
|
28
|
21
|
14
|
÷
|
7
|
|
4
|
3
|
2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Los números originales (56, 42, 28) se escriben desde la izquierda hacia
la derecha.
A la derecha de ellos se escribe el 2 (primer número primo de la lista)
y se divide cada uno de estos números por 2, escribiendo el resultado obtenido
en la misma columna del número original.
La segunda fila muestra estos resultados.
Como los números 28, 21 y 14 no pueden dividirse simultáneamente por
3, este número primo se desecha.
De forma similar se desecha el 5.
El siguiente número primo en la lista es 7.
En este caso se puede hacer la división simultáneamente obteniéndose los
números 4, 3 y 2.
Esta última fila no puede dividirse simultáneamente ni
por 2 ni por 3.
Como el siguiente número primo (5) es mayor que 4, el proceso termina.
Por lo tanto, el mcd de los números 56, 42 y 28 es el
producto de los números primos de la derecha: 2 • 7 = 14
Lo anterior se expresa como: mcd (56, 42, 28) = 14 (el
máximo común divisor de los números 56, 42 y 28 es igual a 14)
Ejemplo: Factorizar 9x + 6y - 12z
Este es un ejemplo sencillo de la factorización por factor común.
Dada una expresión algebraica se encuentra el máximo común divisor (mcd)
de los coeficientes de los términos de la expresión algebraica.
Este mcd corresponde al coeficiente del factor común.
Para la parte literal se toman las variables comunes a todos los
términos con el menor exponente que aparezca.
Para este ejercicio el mcd de 9, 6 y 12 es 3; además como no
hay variables comunes en los tres términos tenemos:
9x + 6y - 12z = 3(3x +
2y - 4z)
es decir 9x + 6y - 12z se ha expresado como el
producto de los factores 3 y 3x + 2y - 4z.
Ejemplo: Factorizar 9xy2 + 6y4 - 12 y3z
En este caso además del factor común 3 (mcd de 9, 6, 12) la variable y
es común a los tres términos. La menor potencia común es y2por
lo tanto la factorización queda:
9xy2 + 6y4 - 12y3z
= 3y2(3x + 2y2 - 4yz)
Los factores en este caso son 3x + 2y2 - 4yz
y 3y2. Para verificar, al realizar el producto indicado se
obtiene la expresión original:
3y2(3x + 2y2 - 4yz) = (3y2 *
3x) + (3y2 * 2y2) - (3y2 *
4yz)
= 9xy2 + 6y4 - 12y3z
Nótese que se ha aplicado la propiedad distributiva
del producto. En general no es necesario hacer la verificación de la factorización,
pero es conveniente cuando existan dudas sobre el resultado obtenido:
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